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力学

運動量と力積~ 練習問題 part-5

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運動量と力積~ 練習問題 part-5

今回は運動量と力積に関連した基礎的な練習問題を取り上げる。

質量が変化する運動 ~ 爆発分裂

 静止していた質量$m$の物体が、内部の火薬の爆発によって2つに分裂した。分裂した部分を$\text{A,B}$とする。部分$\text{A}$は質量$\displaystyle \frac{2}{3}m$で上方に速度$V$で飛んだ。
 もう1つの破片、部分$\text{B}$の速度を求めよ。

解答

軸を設定し、作用する力を書き込む

  • $x$軸の正の向きは右側に、$y$軸の正の向きは上に設定した。
  • 2物体が衝突する瞬間に受ける力は部分$\text{A}$が部分$\text{B}$から受ける力$\vec{F}_{\text{AB}}$と部分$\text{B}$が部分$\text{A}$から受ける力$\vec{F}_{\text{BA}}$の2つである。

運動方程式を立てる

 運動方程式は部分$\text{A}$について
\begin{eqnarray*}
m_{\text{A}} a_{\text{A}} &=& \vec{F}_{\text{AB}} \\
\\
m_{\text{A}} \frac{\diff \vec{v}_{\text{A}}}{\diff t} &=& \vec{F}_{\text{AB}} \\
\\
\frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{A}} \vec{v}_{\text{A}}) &=& \vec{F}_{\text{AB}}
\end{eqnarray*}
となる。

 運動方程式は部分$\text{B}$について
\begin{eqnarray*}
m_{\text{B}} a_{\text{B}} &=& \vec{F}_{\text{BA}} \\
\\
m_{\text{B}} \frac{\diff \vec{v}_{\text{B}}}{\diff t} &=& \vec{F}_{\text{BA}} \\
\\
\frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{B}} \vec{v}_{\text{B}}) &=& \vec{F}_{\text{BA}}
\end{eqnarray*}
となる。

 ここで、$\vec{F}_{\text{AB}}$と$\vec{F}_{\text{BA}}$は作用反作用の関係であるので、この力の大きさを$F$とおくと

\begin{eqnarray*}
\vec{F}_{\text{AB}} &=& \vec{F}
\\
\vec{F}_{\text{BA}} &=& -\vec{F}
\end{eqnarray*}
となるので

\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{A}} \vec{v}_{\text{A}}) &=& \vec{F}
\\
\frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{B}} \vec{v}_{\text{B}}) &=& -\vec{F} \\
\\
\hline
\\
\frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{A}} \vec{v}_{\text{A}}) + \frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{B}} \vec{v}_{\text{B}}) &=& \vec{F} +(-\vec{F}) \\
\\
\frac{\diff}{\diff t} (m_{\text{A}} \vec{v}_{\text{A}} +m_{\text{B}} \vec{v}_{\text{B}} ) &=& \vec{0}
\end{eqnarray*}
となる。

となり、物体の分裂において、運動量は保存していると言える。

従って、

\begin{eqnarray*}
m_{\text{A}} \vec{v}_{\text{A}} +m_{\text{B}} \vec{v}_{\text{B}} = m_{\text{A}} \vec{v}'_{\text{A}} +m_{\text{B}} \vec{v}'_{\text{B}}
\end{eqnarray*}

の関係式が導き出される。

運動量保存則を適用する

 前述の通り、運動量保存則が成立することが確認できなので、これを適用していく。

問題の条件は

\begin{eqnarray*}
\vec{v}_{\text{A}}(t) &=&
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} , \quad \quad
\vec{v}_{\text{B}}(t) =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} \\
\\
\vec{v}_{\text{A}}(t') &=&
\begin{pmatrix}
0 \\
V \\
\end{pmatrix} , \quad \quad
\vec{v}_{\text{B}}(t') =
\begin{pmatrix}
v'_{\text{B}_x} \\
v'_{\text{B}_y} \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

となる。

従って、運動量保存則は

\begin{eqnarray*}
m_{\text{A}} \vec{v}_{\text{A}} +m_{\text{B}} \vec{v}_{\text{B}} &=& m_{\text{A}} \vec{v}'_{\text{A}} +m_{\text{B}} \vec{v}'_{\text{B}} \\
\\
m_{\text{A}}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
+m_{\text{B}}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\end{pmatrix} &=&
m_{\text{A}}
\begin{pmatrix}
0 \\
V \\
\end{pmatrix}
+m_{\text{B}}
\begin{pmatrix}
v'_{\text{B}_x} \\
v'_{\text{B}_y} \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

となる。
よって、

\begin{eqnarray*}
0 &=& m_{\text{B}} v'_{\text{B}_x} \\
\\
0 &=& m_{\text{A}} V + m_{\text{B}} v'_{\text{B}_y} \\
\end{eqnarray*}

となり、
\begin{eqnarray*}
m_{\text{B}} v'_{\text{B}_y} &=& -m_{\text{A}} V \\
\\
v'_{\text{B}_y} &=& - \frac{m_{\text{A}}}{m_{\text{B}}} V
\end{eqnarray*}
となる。
ここで、$m_{\text{A}}=\displaystyle \frac{2}{3}m, \ m_{\text{B}}=\displaystyle \frac{1}{3}m$より

\begin{eqnarray*}
v'_{\text{B}_y} &=& - \frac{m_{\text{A}}}{m_{\text{B}}} V \\
\\
&=& - \frac{\frac{2}{3}m}{\frac{1}{3}m} V
\\ \\
&=& -2V
\end{eqnarray*}

となる。

従って、部分$\text{B}$の速度は

\begin{eqnarray*}
\vec{v}_{\text{B}}(t') =
\begin{pmatrix}
0 \\
-2V \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

となる。

教科書的計算

 運動量保存則より、

\begin{eqnarray*}
0 &=& m_{\text{A}} V + m_{\text{B}} v'_{\text{B}_y} \\
\\
0 &=& \frac{2}{3}m V + \frac{1}{3}m v'_{\text{B}_y} \\
\\
\end{eqnarray*}
と記述し、

式を整理し
\begin{eqnarray*}
v'_{\text{B}_y} &=& -2V
\end{eqnarray*}

となる。




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