ads




力学

力のモーメントと運動方程式

投稿日:

力のモーメントと運動方程式

 力のモーメントについて運動方程式から考えてみよう。数学としてはベクトルの外積を使うので、少し高校の範囲を超えるが、流れを理解しておくことは大事である。

力のモーメントの例題

 下図のように軽い棒に2つの物体$\text{A,B}$が取り付けられているモデルを見たことがあるだろう。点$\text{O}$を支点としてつり合う条件を考える問題などは有名である。

\begin{eqnarray*}
\text{反時計回りの力のモーメント} &=& h_A m_A g \\
\\
\text{時計回りの力のモーメント} &=& h_B m_B g \\
\end{eqnarray*}

 反時計回りの力モーメントと時計回りの力のモーメントが等しくなれば回転しないことになる。この力のモーメントについて運動方程式から考えてみよう。

運動方程式に左から位置ベクトルの$\vec{r}$の外積をとる

 一般的な運動モデルを設定する。原点を$\text{O}$として点$\text{P}$の位置に力$\vec{F}$が作用したと考える。このときの点$\text{P}$の位置ベクトルを$\vec{r}$とする。

運動方程式

\begin{eqnarray*}
m\vec{a}=\vec{F} \\
\\
m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t}=\vec{F}
\end{eqnarray*}

の両辺に左側から位置ベクトル$\vec{r}$の外積をとると

\begin{eqnarray*}
\vec{r} \times m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=&\vec{r} \times \vec{F} \\
\\
\frac{\diff}{\diff t}(\vec{r} \times m \vec{v}) &=& \vec{r} \times \vec{F} \ \cdots (*) \\
\\
\end{eqnarray*}
と変形できる。この式の左辺の微分括弧内の部分$\vec{r} \times m \vec{v}$を「角運動量$\vec{L}$」と呼び、右辺の$\vec{r} \times \vec{F}$を「力のモーメント$\vec{M}$」と呼ぶ。

 即ち、運動方程式の両辺に左側から位置ベクトル$\vec{r}$の外積をとると「力のモーメントと角運動量の関係」が導かれることになる。

  • 角運動量$\vec{L}$はベクトル量である。
  • 力のモーメント$\vec{M}$はベクトル量である。

式$(*)$の左辺の変形について

 実際に左辺を計算してみると

\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t}(\vec{r} \times m \vec{v}) &=& \frac{\diff \vec{r}}{\diff t} \times m \vec{v} + \vec{r} \times \frac{\diff}{\diff t}(m \vec{v}) \\
\\
&=& \vec{v} \times m \vec{v} + \vec{r} \times \frac{\diff}{\diff t}(m \vec{v}) \\
\\
&=& 0 + \vec{r} \times \frac{\diff}{\diff t}(m \vec{v}) \\
\\
&=& \vec{r} \times m \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \\
\end{eqnarray*}
となり、式変形する前の形になることが確認できる。

回転の運動方程式

 式$(*)$を角運動量$\vec{L}$と力のモーメント$\vec{M}$を使って表すと

\begin{eqnarray*}
\frac{\diff \vec{L}}{\diff t} =\vec{M}
\end{eqnarray*}

となり、これを「回転の運動方程式」と呼ぶ。






-力学
-, ,

Copyright© タイトル(仮) 大学講師が解説〜高等学校学習指導要領から学ぶ物理学 , 2021 All Rights Reserved Powered by STINGER.