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力学

速度と$x-t$グラフ

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速度と$x-t$グラフ

 前回は速度の一般的な定義の解説をした。今回は速度と$x-t$グラフについて直線(1次元)の運動を用いて解説していく。

直線(1次元)運動

 前回は3次元の一般的な運動を扱ったが、ここでは1次元の運動について考える。
 ある時刻$t$で点$\text{P}$の位置に居た物体が、時刻$t+\Delta t$には点$\text{P}'$に居たとする。

$x-t$グラフ

 $x-t$グラフで表すと下図のようになる。

 点$\text{P}$から点$\text{P}'$まで移動している間、速度が一定とは限らないので曲線で表している。

 この$x-t$グラフを見てみると、点$\text{P}$の付近と点$\text{P}'$の付近が急勾配で、中間付近はなだらかになっていることがわかる。

平均の速度 $\bar{v}$

 傾きが急な部分もなだらかな部分もあるが、平均するとどうなるかを考えたものが「平均の速度 $\bar{v}$」となる。

速度の定義から考えると、

\begin{eqnarray*}
\vec{v} = \frac{\diff \vec{r}}{\diff t} =
\begin{pmatrix}
\frac{\diff x}{\diff t} \\
\frac{\diff y}{\diff t} \\
\frac{\diff z}{\diff t} \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
v_x \\
v_y \\
v_z \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

即ち

\begin{eqnarray*}
v_x=\frac{\diff x}{\diff t}
\end{eqnarray*}

であるから、$v_x$は$x-t$グラフの傾きを求めることになり、

\begin{eqnarray*}
\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \ \quad \text{(平均の速度)}
\end{eqnarray*}

となる。算数で言うところの

\begin{eqnarray*}
\Delta x &=& \bar{v} \cdot \Delta t \\
\\
\text{距離} &=& \text{速さ} \cdot \text{時間}
\end{eqnarray*}

に相当することが確認できる。

瞬間の速度 $v_x$

 点$\text{P}$から点$\text{P}'$まで移動している間の点$\text{C}$を考える。この点$\text{C}$の位置を$x$, 時刻$t$ とし、そこから微笑時間$\Delta t$後に微小変位の大きさが$\Delta x$とする。

 ここで、この微小時間$\Delta t$を限りなく小さくしてく、即ち$\Delta t \to 0$ の極限を考えるとこの傾きはこの曲線の接線となり、

\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta t} =\frac{\diff x}{\diff t} = v_x
\end{eqnarray*}

となる。






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