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力学

仕事の定義

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仕事の定義

 簡単なモデルとして、物体が$x$軸上を運動するとする。この運動で一定の力$\vec{F}$が作用して、物体を変位$\vec{x}$させたとする。

力$\vec{F}$が$x$軸上の場合

 仕事$W$は

\begin{eqnarray*}
W &=& |\vec{F}| \cdot | \vec{x} | \\
\\
&=& Fx
\end{eqnarray*}

となる。仕事は英語の「work」の頭文字で表すことが多い。

力$\vec{F}$が$x$軸となす角$\theta$の場合

 力$\vec{F}$が$x$軸となす角$\theta$の場合、変位に沿った力は$F\cos \theta$であるから

\begin{eqnarray*}
W &=& |\vec{F}| \cos \theta \cdot | \vec{x} | \\
\\
&=& F \cos \theta \cdot x \\
\\
&=& F x \cos \theta
\end{eqnarray*}

となる。

1つの式で表す

 上記の2つの式を1つの式で表すと

\begin{eqnarray*}
W = \vec{F} \cdot \vec{x}
\end{eqnarray*}
となる。

 ベクトルの内積を用いて表せばうまく表すことができる。
\begin{eqnarray*}
W &=& \vec{F} \cdot \vec{x} \\
\\
&=& |\vec{F}| | \vec{x} | \cos \theta
\end{eqnarray*}
である。
 この式の有用なことは、仕事の正負はなす角$\theta$で決まるところである。変位$\vec{x}$と力$\vec{F}$のなす角が$0^{\circ}$から$90^{\circ}$の間は$\cos \theta$の値は正であり、$90^{\circ}$から$270^{\circ}$までの間は$\cos \theta$の値は負であり、
$270^{\circ}$から$360^{\circ}$までの間$\cos \theta$の値が正となる。
 従って、「負の仕事はどうだったか?」とか悩むことはなく、変位$\vec{x}$と力$\vec{F}$のなす角だけ着目すれば良いことになる。

仕事の次元

 仕事の次元は、定義 $W= \vec{F}\cdot \vec{x}$より

\begin{eqnarray*}
\text{仕事の次元} = [M]\frac{[L]}{[T^2]}[L] =\frac{[ML^2]}{[T^2]}
\end{eqnarray*}

と表される。

 MKS単位系で単位を表すと

\begin{eqnarray*}
\text{仕事の単位} = [\mbox{J}] = [\mbox{Nm}] = [ \mbox{kg m/s}^2 \cdot \mbox{m} ] = [ \mbox{kg m}^2 \mbox{/s}^2 ]
\end{eqnarray*}

となる。

仕事の定義の一般化

 前出の例は特殊な条件で考えたが、これを一般的なモデルに拡張する。

  • 力$\vec{F}$が一定ではない
  • 運動の軌道は一直線ではない

 点$\text{A}$から点$\text{B}$までの間のある微小区間の微小仕事$\diff W$を考える。微小区間は直線で力Fも一定とみなせるので

\begin{eqnarray*}
\diff W &=& F \cos \theta \ \diff r \\
\\
&=& \vec{F} \cdot \diff \vec{r}
\end{eqnarray*}

これを最初から最後まで積分をすればよく

\begin{eqnarray*}
W = \int_c \vec{F} \cdot \diff \vec{r} 
\end{eqnarray*}
となる。$c$は軌道に沿った線であり、このような積分を「線積分」と呼ぶ。

「微小部分を考えて積分する」という手法は物理ではよく使う方法です。

まとめ

力$\vec{F}$が一定で、直線運動の場合

\begin{eqnarray*}
W = \vec{F} \cdot \vec{x}
\end{eqnarray*}

となる。

一般的な運動の仕事は

\begin{eqnarray*}
W = \int_c \vec{F} \cdot \diff \vec{r} 
\end{eqnarray*}
となる。

変位$\diff \vec{r}$と力$\vec{F}$は

\begin{eqnarray*}
\diff \vec{r} &=&
\begin{pmatrix}
\diff x \\
\diff y \\
\diff z \\
\end{pmatrix} ,\ \quad
\vec{F} &=&
\begin{pmatrix}
F_x \\
F_y \\
F_z \\
\end{pmatrix} \\
\end{eqnarray*}

とする。




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