仕事 ~ 練習問題 part-4
斜面を滑り降りるソリ
質量$m$のソリが傾きの角$\theta$の斜面に沿って雪面上を$L$だけ滑り降りたとする。このとき、一定の摩擦力$f$が作用していたとする。
以下の問に答えよ。
(1) ソリが斜面を滑り降りる間に重力がした仕事を求めよ。
(2) ソリが斜面を滑り降りる間に垂直抗力がした仕事を求めよ。
(3) ソリが斜面を滑り降りる間に摩擦力がした仕事を求めよ。
解答
軸を設定し、作用する力を書き込む
- 斜面に沿って下向きを$x$軸の正に、斜面に垂直な方向上向きを$y$軸の正に設定する。
- 作用する力は重力$mg$と面からの抗力$R$の2つである。
- 摩擦力$f$が作用すると記述されているので、面からの抗力$R$と垂直抗力$N$は角度を持つ。
斜面に沿った成分に分解すると
となる。
運動方程式を立てる
運動方程式は
\begin{eqnarray*}
ma_x &=& mg \sin \theta -f \\
\\
ma_y &=& N-mg \cos \theta
\end{eqnarray*}
となる。
ここで、運動方程式をベクトル表記に書き換えると、
\begin{eqnarray*}
m \vec{a} &=& \vec{F} \\
\\ m
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
\end{pmatrix} &=&
\begin{pmatrix}
F_x \\
F_y \\
\end{pmatrix}\\
\\ m
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y \\
\end{pmatrix} &=&
\begin{pmatrix}
mg \sin \theta -f \\
N-mg \cos \theta \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
となる。
「仕事とエネルギーの関係」で行った計算と同様に$\diff \vec{r}$の内積を取って全体を積分すると
\begin{eqnarray*}
m \vec{a} &=& \vec{F} \\
\\
\int m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \diff \vec{r} &=& \int \vec{F} \cdot \diff \vec{r} \\
\\
\int m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \cdot \vec{v} \diff t &=& \int \vec{F} \cdot \diff \vec{r} \\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \diff t &=& \int \vec{F} \cdot \diff \vec{r} \\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \diff t
&=& \int
\begin{pmatrix}
F_x \\
F_y \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\diff x \\
\diff y \\
\end{pmatrix} \\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \diff t
&=& \int F_x \diff x + \int F_y \diff y \\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \diff t
&=& \int (mg \sin \theta -f) \diff x + \int (N-mg \cos \theta) \diff y \\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \diff t
&=& \int mg \sin \theta \diff x + \int (-f) \diff x + \int N \diff y + \int (-mg \cos \theta) \diff y \\
\end{eqnarray*}
となる。
$y$方向には変位しない(斜面から浮かない、めり込まない)。
従って、
重力がする仕事$W_g$は
\begin{eqnarray*}
W_g&=& W_{g_x} + W_{g_y} \\
\\
&=& \int_0^L mg \sin \theta \diff x + \int_0^0 (-mg \cos \theta) \diff y \\
\\
&=& \left[ (mg \sin \theta) \cdot x \right]_0^L +0 \\
\\
&=& (mg \sin \theta) \cdot L -(mg \sin \theta) \cdot 0 \\
\\
&=& mgL \sin \theta
\end{eqnarray*}
となり、
摩擦力がする仕事$W_\text{摩}$は
\begin{eqnarray*}
W_\text{摩} &=& \int_0^L (-f) \diff x \\
\\
&=& \left[ (-f)\cdot x \right]_0^L \\
\\
&=& (-f) \cdot L - (-f) \cdot 0 \\
\\
&=& -fL
\end{eqnarray*}
となり、
垂直抗力がする仕事は
\begin{eqnarray*}
W_N &=& \int_0^0 N \diff y \\
\\
&=& 0\\
\end{eqnarray*}
となる。
教科書的計算
加えた力を軸に沿って成分を分解すると下図のようになる。
(1)
重力がした仕事$W_g$は力が$mg \sin \theta$で移動した距離が$L$なので
\begin{eqnarray*}
W_{g} &=& \text{力} \times \text{移動した距離} \\
\\
&=& mg \sin \theta \cdot L \\
\\
&=& mgL \sin \theta
\end{eqnarray*}
となる。
(2)
垂直抗力がした仕事$W_N$は垂直抗力と変位の向きが垂直なので$\cos 90^{\circ} =0$より
\begin{eqnarray*}
W_{N} &=& 0
\end{eqnarray*}
となる。
(3)
摩擦力がした仕事$W_{\text{摩}}$は力が$ｰf$で移動した距離が$L$なので
\begin{eqnarray*}
W_{\text{摩}} &=& \text{力} \times \text{移動した距離} \\
\\
&=& -f \cdot L \\
\\
&=& -fL
\end{eqnarray*}
となる。