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力学

運動量と力積~ 練習問題 part-1

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運動量と力積~ 練習問題 part-1

 今回は運動量と力積に関連した基礎的な練習問題を取り上げる。

一定の力$F$を加える

 静止している質量$m$の物体に一定の力$F$を時間$\Delta t$だけ加えたときの物体の速度を求めよ。

解答

軸を設定し、作用する力を書き込む

  • $x$軸の正の向きは右側に、$y$軸の正の向きは上に設定した。
  • 作用する力は重力$mg , \ $面からの抗力$N(R) ,\ $加えた力$F$の3つである。

 運動方程式は
\begin{eqnarray*}
ma_x &=& F \\
\\
ma_y &=& N - mg
\end{eqnarray*}
となる。
束縛条件より$a_y=0$であるから
\begin{eqnarray*}
ma_x &=& F \\
\\
0 &=& N - mg
\end{eqnarray*}
となる。

力積を計算する ~ 両辺を$t$で積分する

 $x$軸の運動に着目するので$a_x = a$と書き換えて両辺を$t$で積分すると

\begin{eqnarray*}
ma &=& F \\
\\
m \frac{\diff v}{\diff t} &=& F \\
\\
\int m \frac{\diff v}{\diff t} \diff t &=&\int F \diff t\\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} (mv) \diff t &=& \int F \diff t
\end{eqnarray*}

ここで、$F=\mbox{const.}$であり、初期条件を$v(t_0) = v_0 =0 ,\ v(t_1) = v_1 ,\ $とすると

\begin{eqnarray*}
\int \frac{\diff}{\diff t} (mv) \diff t &=& \int F \diff t \\
\\
\int_{t_0}^{t_1} \frac{\diff}{\diff t} (mv) \diff t &=& \int_{t_0}^{t_1} F \diff t \\
\\
[mv(t)]_{t_0}^{t_1} &=& [Ft]_{t_0}^{t_1} \\
\\
mv(t_1) - mv(t_0) &=& Ft_1 - Ft_0 \\
\\
mv_1 -mv_0 &=& F (t_1 - t_0) \\
\\
mv_1 - m \cdot 0 &=& F \Delta t \\
\\
mv_1 &=& F \Delta t \\
\\
v_1 &=& \frac{F}{m} \Delta t
\end{eqnarray*}
となる。

教科書的計算

 運動量と力積の関係$\ mv' - mv = F \Delta t\ $より

\begin{eqnarray*}
mv' - mv &=& F \Delta t \\
\\
mv' - m \cdot 0 &=& F \Delta t \\
\\
mv' &=& F \Delta t \\
\\
v' &=& \frac{F}{m} \Delta t
\end{eqnarray*}
となる。




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