仕事とエネルギー ~ 練習問題 part-1
滑らかな水平面上の運動
なめらかな水平面上を動く質量$m$の物体を考える。この物体に一定の力$F$を加え続けるとする。距離$L$だけ動いた運動について検討せよ。
解答
軸を設定し、作用する力を書き込む
- $x$軸の正の向きは右側に、$y$軸の正の向きは上に設定した。
- 作用する力は重力$mg ,\ $面からの抗力$N(R) ,\ $加える力$F$ の３つである。
運動方程式を立てる
運動方程式は
\begin{eqnarray*}
ma_x &=& F \\
\\
ma_y &=& N-mg
\end{eqnarray*}
となる。
仕事を計算する ~ 両辺を$x$で積分する
$x$軸の運動に着目するので$a_x = a$と書き換えて両辺を$x$で積分すると
\begin{eqnarray*}
ma &=& F \\
\\
m \frac{\diff v}{\diff t} &=& F \\
\\
\int m \frac{\diff v}{\diff t} \diff x &=& \int F \diff x \\
\\
\int m \frac{\diff v}{\diff t} v \diff t &=& \int F \diff x \\
\\
\int \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 \right) \diff t &=& \int F \diff x \\
\end{eqnarray*}
となる。
ここで初期条件を$v(t_0) = v_0 ,\ v(t) = v ,\ x(t_0) = x_0 ,\ x(t) = x$とすると
\begin{eqnarray*}
\int_{t_0}^{t} \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 \right) \diff t &=& \int_{x_0}^{x} F \diff x \\
\\
\left[ \frac{1}{2} mv^2(t) \right]_{t_0}^{t} &=& [Fx]_{x_0}^{x} \\
\\
\frac{1}{2} mv^2(t) - \frac{1}{2} mv^2(t_0) &=& Fx - Fx_0 \\
\\
\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 &=& F(x - x_0) \\
\\
\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 &=& FL
\end{eqnarray*}
となる。
教科書的計算
運動方程式は
\begin{eqnarray*}
ma = F
\end{eqnarray*}
となる。
加える力$F$は一定より、この運動は$a=\displaystyle \frac{F}{m}= \text{const.}$の等加速度運動である。
等加速度運動の速度と距離の関係式の両辺に$\displaystyle \frac{1}{2}m$をかけると
\begin{eqnarray*}
v^2 - v_0^2 &=& 2ax \\
\\
\frac{1}{2} m \cdot v^2 - \frac{1}{2} m \cdot v_0^2 &=& \frac{1}{2} m \cdot 2ax \\
\\
\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv_0^2 &=& max
\end{eqnarray*}
となる。運動方程式$ma=F$より
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv_0^2 &=& Fx \\
\\
\frac{1}{2} mv^2(t) - \frac{1}{2} mv_0^2 &=& Fx \\
\end{eqnarray*}
となる。
初期条件$v(t_0) = v_0 ,\ v(t) = v ,\ x(t_0) = x_0 ,\ x(t) = x$より
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2} mv^2(t) - \frac{1}{2} mv_0^2 &=& Fx \\
\\
\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv_0^2 &=& F (x-x_0) \\
\\
\frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv_0^2 &=& F L \\
\end{eqnarray*}
となる。